Question

如圖，M是拋物線y²=x上的一個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別與x軸交于不同的點(diǎn)A、B，且|MA|=|MB|．證明：直線EF的斜率為定值．

Answer 1

分析：設(shè)直線ME的斜率為 k（k＞0），則直線MF的斜率為-k，直線ME的方程為y-y₀=k（x-y₀²），由

y-y0=k(x-y02) y2=x

得ky²-y+y₀（1-ky₀）=0．于是yE=

1-ky0

k

．同理可得yF=

1+ky0

-k

，由此知直線EF的斜率為定值．

解答：解：設(shè)K，直線ME的斜率為 k（k＞0），
則直線MF的斜率為-k，直線ME 的方程為
y-y₀=k（x-y₀²），由

y-y0=k(x-y02) y2=x

得ky²-y+y₀（1-ky₀）=0．
于是y0yE=

y0(1-ky0)

k

，
所以yE=

1-ky0

k

．
同理可得yF=

1+ky0

-k

，
∴kEF=

yE-yF

xE-xF

=

yE-yF

yE2-yF2

=

1

yE+yF

=-

1

2y0

（定值）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．