Question

【題目】已知直線l：

1證明直線l經(jīng)過定點(diǎn)并求此點(diǎn)的坐標(biāo)；

2若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

3若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）定點(diǎn)（﹣2，1）（2）k≥0；（3）見解析

【解析】

分析：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，直線l過定點(diǎn)（-2，1）；（2）要使直線l不經(jīng)過第四象限，則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負(fù)數(shù)，解出k的取值范圍；
（3）先求出直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值.

（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，

故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)（﹣2，1）．

（2）直線l的方程可化為y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1，

要使直線l不經(jīng)過第四象限，則，

解得k的取值范圍是k≥0．

（3）依題意，直線l: y=kx+2k+1，在x軸上的截距為﹣，在y軸上的截距為1+2k，

∴A（﹣，0），B（0，1+2k），

又﹣＜0且1+2k＞0，

∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）

=（4k++4）≥（4+4）=4，

當(dāng)且僅當(dāng)4k=，即k=或-時(shí)，取等號，當(dāng)k=-時(shí)直線過原點(diǎn)，不存在三角形，故舍掉.

此時(shí)直線方程為：