Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=(

1

2

)x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域A；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=

-x2+(a-1)x+a

的定義域?yàn)榧�合B，若A⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只需研究x≥0時(shí)，f（x）的取值范圍即為函數(shù)的值域，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出所求；
（II）根據(jù)偶次根式的被開方數(shù)大于等于0，以及A⊆B建立關(guān)系式，可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的值域A即為x≥0時(shí)，f（x）的取值范圍．
當(dāng)x≥0時(shí)，0＜(

1

2

)x≤1，故函數(shù)f（x）的值域A=（0，1]
（II）∵g（x）=

-x2+(a-1)x+a

∴定義域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}
由-x²+（a-1）x+a≥0得x²-（a-1）x-a≤0，
即 （x-a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[-1，a]且a≥1
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式的解法，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．