（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若與均不重合，設直線與的斜率分別為，證明：為定值；
（Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，
∵直線與圓相切，∴，即，       又，即，，解得，，
所以橢圓方程為．        ------------3分
（Ⅱ）設， ，，則，即， 則，，
即，
∴為定值．             ------------6分
（Ⅲ）設，其中．
由已知及點在橢圓上可得，
整理得，其中．----8分
①當時，化簡得，
所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；                   -------------9分
②當時，方程變形為，其中，
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；          -------------11分
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；          -------------12分
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．
-------------13分
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題共13分）已知橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點， 且使點為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線，圓O：＝36（O為坐標原點），橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等。
（I）求橢圓C的方程；（II）過點（3,0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點設（O是坐標原點），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對角線長相等？若存在　，求出直線l的方程，若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的焦點在軸上，則它的離心率的取值范圍為（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,橢圓的中心在坐標原點，長軸端點為A，B,右焦點為F,且.
(I) 求橢圓的標準方程；
(II)過橢圓的右焦點F作直線，直線l1與橢圓分別交于點M,N，直線l2與橢圓分別交于點P,Q,且，求四邊形MPNQ的面積S的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的離心率＝，長軸的左右兩個端點分別為；
（1）求橢圓C的方程;
（2）點在該橢圓上，且，求點到軸的距離；
（３）過點（１，０）且斜率為１的直線與橢圓交于Ｐ，Ｑ兩點，求△ＯＰＱ的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

．（本小題滿分13分）
P為橢圓上任意一點，為左、右焦點，如圖所示．
(1)若的中點為，求證:
(2)若∠，求|PF1|·|PF2|之值；
(3)橢圓上是否存在點P，使·＝0，若存在，求出P點的坐標，若不存在，試說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的離心率，右焦點到直線的距離為，過的直線交橢圓于兩點.(Ⅰ) 求橢圓的方程；（Ⅱ） 若直線交軸于,,求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上的一點，且.若的面積為9，則           .

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