Question

已知定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上單調遞減，且f（2x-1）≥f（x）是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分條件，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：本題先根據函數f（x）的奇偶性和單調性將不等式f（2x-1）≥f（x）進行化簡，再利用命題間的充分條件關系，得到兩不等式的解集關系，比較區(qū)間端點，得到相關不等式，解不等式，得到本題結論．

解答： 解：∵函數f（x）是偶函數
∴f（-x）=f（x）=f（|x|）．
∵函數f（x）在[0，+∞）上單調遞減，
∴不等式f（2x-1）≥f（x）可轉化為：
f（|2x-1|）≥f（|x|），
∴|2x-1|≤|x|，
∴（2x-1）²-x²≤0，
∴

1

3

≤x≤1．
∵f（2x-1）≥f（x）是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分條件，
∴

1

3

≤x≤1是不等式2m+

1

m

≤x²-2x≤m成立的充分條件，
∴當

1

3

≤x≤1時，x²-2x=（x-1）²-1∈[-1，-

5

9

]，
∴2m+

1

m

≤-1，m≥-

5

9

，
∴m≥-

5

9

．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性及不等式解法，本題難度不大，屬于基礎題．