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正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
(2)求平面BDC與平面DEF的夾角的余弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論。

解：(1)如圖，在△ABC中，E、F分別是AC、BC的中點，
∴EF∥AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，
∴AB∥平面DEF。
(2)以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，
建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2，0），
，
平面CDF的法向量為，
設平面EDF的法向量為，
則，
取，
，
所以平面BDC與平面DEF夾角的余弦值為。
(3)在平面坐標系xDy中，
直線BC的方程為，
設，
∴
，
所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B
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（Ⅰ）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

19、如圖所示，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（I）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（II）求直線EF與平面ADC所成角的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•株洲模擬）如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出
BPBC
的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省馬鞍山市高三第一次月考理科數學試卷 題型：解答題

正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。

（I）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；

（II）求二面角E—DF—C的余弦值；

（III）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論。

 

 

 

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科目：高中數學 來源：2011年福建師大附中高二第一學期期末數學理卷 題型：解答題

(本小題12分)

正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B.

（Ⅰ）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；

（Ⅱ）求直線BC與平面DEF所成角的余弦值；

（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論.

 

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