Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，過(guò)F1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

．
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）若N是左標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，G是△MF₁F₂的重心，且

GF2

•

ON

=0，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；
（Ⅲ）點(diǎn)p審此橢圓上一點(diǎn)，但非短軸端點(diǎn)，并且過(guò)P可作（Ⅱ）中所求得軌跡的兩條不同的切線，Q、R是兩個(gè)切點(diǎn)，求

PQ

•

PR

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，由橢圓的定義可得a，再由面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)N（x，y），由重心坐標(biāo)公式，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式，即可得到軌跡方程；
（Ⅲ）判斷動(dòng)點(diǎn)N的軌跡，設(shè)P（m，n），則根據(jù)平面幾何知識(shí)得到|

PQ

|=|

PR

|，及cos＜

PQ

，

PR

＞，從而根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及均值不等式得

PQ

•

PR

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因?yàn)镸是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，
△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長(zhǎng)為8

2

，
所以 4a=8

2

，

1

2

•b•2c=4，
∴

bc=4 b2+c2=8

∴b=c=2，a=2

2

，
所以，所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)N（x，y），則由（Ⅰ）得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），所以G(

x

3

，

y

3

)，
從而

GF2

=(2-

x

3

，-

y

3

)，

ON

=(x，y)．因?yàn)?span id="9exbvqm" class="MathJye">

GF2

•

ON

=0，
所以有(2-

x

3

，-

y

3

)•(x，y)=(2-

x

3

)x+(-

y

3

)y=0，即x2+y2-6x=0，
由于G是△NF₁F₂的重心，即N，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂應(yīng)當(dāng)是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，
因此所求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²-6x=0（y≠0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知?jiǎng)狱c(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²-6x=0（y≠0），
即（x-3）²+y²=9（y≠0）．
顯然此軌跡是以點(diǎn)C（3，0））為圓心，半徑r=3的圓
除去兩點(diǎn)（0，0），（6，0）剩余部分的部分曲線．
設(shè)P（m，n），則根據(jù)平面幾何知識(shí)得|

PQ

|=|

PR

|=

| PC |2-r2

=

(m-3)2+n2-9

，
cos＜

PQ

，

PR

＞=cos2∠QPC=1-2sin²∠QPC=1-2•（

r

| PC |

）²=1-

18

(m-3)2+n2

，
從而根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及均值不等式得：

PQ

•

PR

=|

PQ

|•|

PR

|•cos＜

PQ

，

PR

＞=[（m-3）²+n²-9]•[1-

18

(m-3)2+n2

]
=[（m-3）²+n²]+

162

(m-3)2+n2

-27≥2

162

-27=18

2

-27．
當(dāng)且僅當(dāng)(m-3)2+n2=9

2

時(shí)，取“=”（※） 
由點(diǎn)P（m，n）在橢圓

x2

8

+

y2

4

=1上（非短軸端點(diǎn)），并且在圓（x-3）²+y²=9外，
可知3＜|

PC

|≤3+2

2

但|

PC

|≠|(zhì)

MC

|=

13

⇒(m-3)2+n2∈(9，13)∪(13，17+12

2

]
由于9

2

∈(9，13)，所以條件（※）的要求滿足．
因此

PQ

•

PR

的最小值為18

2

-27．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．