Question

（15分）已知函數(shù)（不同時(shí)為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若存在使得成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅲ）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；（3）或.

【解析】第一問(wèn)利用當(dāng)時(shí)，==，其對(duì)稱軸為直線，

當(dāng) ，解得，當(dāng)，無(wú)解，

所以的的取值范圍為

第二問(wèn)中，法二：，，．

由于不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立．

第三問(wèn)中，)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912093029632878/SYS201207091210161088601511_DA.files/image022.png">=為奇函數(shù)，所以, 所以，

又在處的切線垂直于直線，所以，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912093029632878/SYS201207091210161088601511_DA.files/image031.png">　所以在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，結(jié)合圖像和極值點(diǎn)得到結(jié)論。

解：（1）當(dāng)時(shí)，==，其對(duì)稱軸為直線，

當(dāng) ，解得，當(dāng)，無(wú)解，

所以的的取值范圍為．………………………………………………4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912093029632878/SYS201207091210161088601511_DA.files/image036.png">，

法一：當(dāng)時(shí)，適合題意………………………………………6分

當(dāng)時(shí)，，令，則，

令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912093029632878/SYS201207091210161088601511_DA.files/image044.png">，

當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)有零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，所以在（內(nèi)有零點(diǎn)．

   因此，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．……………………10分

法二：，，．

由于不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立．

 (3)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912093029632878/SYS201207091210161088601511_DA.files/image022.png">=為奇函數(shù)，所以, 所以，

又在處的切線垂直于直線，所以，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912093029632878/SYS201207091210161088601511_DA.files/image031.png">　所以在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，如圖所示，

當(dāng)時(shí)，，即，解得；

當(dāng)時(shí)， ，解得；

當(dāng)時(shí)，顯然不成立；

當(dāng)時(shí)，，即，

解得；

當(dāng)時(shí)，，故．

所以所求的取值范圍是或．