Question

3．函數(shù)y=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$關(guān)于點（2，$\frac{1}{8}$）對稱．

Answer 1

分析 設(shè)函數(shù)y=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$關(guān)于點P（a，b）對稱，點A（x，y）是f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的圖象上一點，利用對稱性求出與A與關(guān)于點P對稱的點A′的坐標(biāo)，分別代入函數(shù)解析式化簡后，利用縱坐標(biāo)相等列出方程，利用系數(shù)相等列出方程組求出a、b的值．

解答 解：設(shè)函數(shù)y=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$關(guān)于點P（a，b）對稱，
∵f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的圖象關(guān)于點P對稱，設(shè)點A（x，y）是f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的圖象上一點，
∴f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$的圖象必有一點A′（x′，y′），使得點A與點A′關(guān)于點P對稱，
即x+x′=2a，y+y′=2b，
∴x′=2a-x，y′=2b-y，
∵y=f（x）=$\frac{1}{4{-2}^{x}}$，y′=f（x′）=$\frac{1}{4{-2}^{x′}}$=$\frac{1}{4{-2}^{2a-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x+2}{-2}^{2a}}$，
又y′=2b-y=2b-$\frac{1}{4{-2}^{x}}$=$\frac{8b-1-b•{2}^{x+1}}{4{-2}^{x}}$，
∴$\frac{8b-1-b•{2}^{x+1}}{4{-2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x+2}{-2}^{2a}}$=$\frac{{-2}^{x}}{{2}^{2a}{-2}^{x+2}}$=$\frac{{-2}^{x}}{{4（2}^{2a-2}{-2}^{x}）}$，
則$\frac{8b-1-b•{2}^{x+1}}{4{-2}^{x}}$=$\frac{{-2}^{x}}{{4（2}^{2a-2}{-2}^{x}）}$=$\frac{{-\frac{1}{4}•2}^{x}}{{2}^{2a-2}{-2}^{x}}$，所以$\left\{\begin{array}{l}{8b-1=0}\\{-2b=-\frac{1}{4}}\\{2a-2=2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\frac{1}{8}$，
∴點P的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{8}$），
故答案為：（2，$\frac{1}{8}$）．

點評 本題考查函數(shù)圖象關(guān)于中心對稱的性質(zhì)，以及對稱中心的坐標(biāo)求法，考查化簡、變形能力，方程思想．