【題目】某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是 .
【答案】30+6
【解析】
試題分析:根據(jù)三視圖,可得該三棱錐為如圖的三棱錐A﹣BCD,其中底面△BCD中,CD⊥BC,且側(cè)面ABC與底面ABC互相垂直,由此結(jié)合題中的數(shù)據(jù)結(jié)合和正余弦定理,不難算出該三棱錐的表面積.
解:根據(jù)題意,還原出如圖的三棱錐A﹣BCD
底面Rt△BCD中,BC⊥CD,且BC=5,CD=4
側(cè)面△ABC中,高AE⊥BC于E,且AE=4,BE=2,CE=3
側(cè)面△ACD中,AC==5
∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD,結(jié)合CD平面BCD,得AE⊥CD
∵BC⊥CD,AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC,結(jié)合AC平面ABC,得CD⊥AC
因此,△ADB中,AB==2,BD==,AD==,
∴cos∠ADB==,得sin∠ADB==
由三角形面積公式,得S△ADB=×××=6
又∵S△ACB=×5×4=10,S△ADC=S△CBD=×4×5=10
∴三棱錐的表面積是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6
故答案為:30+6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若曲線C上任意一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的距離都大于1,則稱曲線C遠(yuǎn)離”直線,在下列曲線中,“遠(yuǎn)離”直線:y=2x的曲線有___________(寫出所有符合條件的曲線的編號)
①曲線C:;②曲線C:;③曲線C:;
④曲線C:;⑤曲線C:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時,我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究,在一定程度上可以簡化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式:
具體過程如下:
如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O,以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A,B.
則
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有:
設(shè)的夾角為θ,則
另一方面,由圖3.1—3(1)可知,;由圖可知,
.于是.
所以,也有,
所以,對于任意角有:()
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記作.
有了公式以后,我們只要知道的值,就可以求得的值了.
閱讀以上材料,利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)(圖中M是AB的中點(diǎn)),采取類似方法(用其他方法解答正確同等給分)解決下列問題:
(1)判斷是否正確?(不需要證明)
(2)證明:
(3)利用以上結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四面體中,分別是線段的中點(diǎn),,,,直線與平面所成的角等于.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.
項目 員工 | A | B | C | D | E | F |
子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
繼續(xù)教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
大病醫(yī)療 | × | × | × | ○ | × | × |
住房貸款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
贍養(yǎng)老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;
②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中, 底面,. 、分別為和的中點(diǎn). 為側(cè)棱上的動點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)試判斷直線與平面是否能夠垂直.若能垂直,求的值;若不能垂直,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市有一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為立方米,且分上下兩層,其中上層是半徑為(單位:米)的半球體,下層是半徑為米,高為米的圓柱體(如圖).經(jīng)測算,上層半球體部分每平方米建造費(fèi)用為2千元,下方圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個部分平均每平方米建造費(fèi)用為3千元,設(shè)每座帳篷的建造費(fèi)用為千元.
參考公式:球的體積,球的表面積,其中為球的半徑.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)半徑為何值時,每座帳篷的建造費(fèi)用最小,并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校共有學(xué)生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).
(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估計該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動時間超過4小時,請完成每周平均體育運(yùn)動時間與性別列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”.
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