Question

已知函數(shù)f（x）=

cosx

x

（x＞0），g（x）=sinx-ax（x＞0）．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

cosx

x

（x＞0）的零點(diǎn)從小到大排列，記為數(shù)列{x_n}，求{x_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)φ（x）與ω（x）圖象的交點(diǎn)，若直線l同時(shí)與函數(shù)φ（x），ω（x）的圖象相切于P點(diǎn)，且函數(shù)φ（x），ω（x）的圖象位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l為函數(shù)φ（x），ω（x）的分切線．
探究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值，并寫出分切線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義得

cosx

x

=0，由x的范圍和余弦函數(shù)的特殊值，判斷出數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出S_n；
（Ⅱ）由f（x）≥g（x）分離出常數(shù)a，再構(gòu)造函數(shù)φ(x)=

xsinx-cosx

x2

，求出導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性求出函數(shù)的極大值、最大值，即求出a的范圍；
（Ⅲ）根據(jù)條件得：“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”在（0，+∞）上恒成立，根據(jù)極限思想進(jìn)行排除，再根據(jù)a的范圍求出函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程后利用導(dǎo)數(shù)，分別判斷出函數(shù)f（x）、g（x）的圖象與切線的位置關(guān)系．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，

cosx

x

=0（x＞0），則cosx=0，
∴x=

π

2

+kπ，則x_n=

π

2

+(n-1)π，
∴數(shù)列{x_n}是以π為公差、以

π

2

為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
則S_n=

nπ

2

+

n(n-1)π

2

=

n2π

2

；
（Ⅱ）∵f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴

cosx

x

≥sinx-ax，得a≥

xsinx-cosx

x2

，
設(shè)φ(x)=

xsinx-cosx

x2

，
則φ′(x)=

(xsinx-cosx)′x2-(xsinx-cosx)(x2)′

x4

=

cosx(x2+2)

x3

∵x＞0，x²+2＞0，
∴φ（x）在區(qū)間(0，

π

2

)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(

π

2

，

3π

2

)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ)(k∈z)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(

3π

2

+2kπ，

5π

2

+2kπ)(k∈z)上單調(diào)遞增，
∴φ（x）的極大值為φ(

π

2

+2kπ)=

1

π 2 +2kπ

(k∈N)，
故φ（x）的最大值為φ(

π

2

)=

2

π

，
所以a≥

2

π

，
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線，則有“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”
在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）=

cosx

x

→+∞，g（x）=sinx-ax→0，
∴?x₀∈（0，?）使得f（x）＞g（x），∴f（x）≤g（x）在（0，+∞）上不恒成立，
∴只能是f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，
由（Ⅱ）得，a≥

2

π

，∵函數(shù)f（x）與g（x）必須存在交點(diǎn)，
∴a=

2

π

，
當(dāng)a=

2

π

時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的交點(diǎn)為：(

π

2

，0)，
∴f′(

π

2

)=-

2

π

=g′(

π

2

)，
則存在直線y=-

2

π

x+1在點(diǎn)(

π

2

，0)處同時(shí)與f（x）、g（x）相切，
故猜測(cè)函數(shù)f（x）與g（x）分切線為：y=-

2

π

x+1，證明如下：
①∵f(x)-(-

2

π

x+1)=

cosx+ 2 π x2-x

x

，
設(shè)h(x)=cosx+

2

π

x2-x，則h′(x)=-sinx+

4

π

x-1，
設(shè)t(x)=-sinx+

4

π

x-1，則t′(x)=-cosx+

4

π

＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h′（x）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∵h′(

π

2

)=0，∴h，（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，在（

π

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h(x)≥h(

π

2

)=0，∴f(x)-(-

2

π

x+1)≥0
即f(x)≥-

2

π

x+1在（0，+∞）上恒成立，
∴函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=-

2

π

x+1的上方，
②∵g(x)-(-

2

π

x+1)=sinx-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=-

2

π

x+1的下方，
由此可知，函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線：y=-

2

π

x+1，
當(dāng)a=

2

π

時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）存在分切線為：y=-

2

π

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用，等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、有限與無限等數(shù)學(xué)思想方法．