Question

已知圓C：x²+y²=1，點P（x，y）在直線x-y-2=0上，O為坐標原點，若圓C上存在一點Q，使∠OPQ=30°，則x的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：圓O外有一點P，圓上有一動點Q，∠OPQ在PQ與圓相切時取得最大值．如果OP變長，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變�。�因為sin∠OPQ=，QO為定值，即半徑，PO變大，則sin∠OPQ變小，由于∠OPQ∈（0，），所以∠OPQ也隨之變小．可以得知，當∠OPQ=30°，且PQ與圓相切時，PO=2，而當PO＞2時，Q在圓上任意移動，∠OPQ＜30°恒成立．因此滿足PO≤2，就能保證一定存在點Q，使得∠OPQ=30°，否則，這樣的點Q是不存在的；接下來進行計算：根據(jù)兩點間的距離公式表示出OP的長，再把P的坐標代入已知的直線方程中，用y表示出x，代入到表示出OP的長中，根據(jù)PO²≤4列出關于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y(tǒng)的范圍，進而求出x的范圍．
解答：解：由分析可得：PO²=x²+y²，
又因為P在直線x-y-2=0上，所以x=y+2，
由分析可知PO≤2，所以PO²≤4，即2y²+4y+4≤4，變形得：y（y+2）≤0，解得：-2≤y≤0，
所以0≤y+2≤2，即0≤x0≤2，則x的取值范圍是[0，2]．
故答案為：[0，2]
點評：此題考查了點與圓的位置關系，以及函數(shù)的定義域及其求法．解題的關鍵是結合圖形，利用幾何知識，判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍．