Question

設(shè)不等式組

x+y+2≥0 x+ay+2≤0

表示的區(qū)域為Ω₁，不等式x²+y²≤1表示的平面區(qū)域為Ω₂．
（1）若Ω₁與Ω₂有且只有一個公共點，則a=

 

；
（2）記S（a）為Ω₁與Ω₂公共部分的面積，則函數(shù)S（a）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用Ω₁與Ω₂有且只有一個公共點，確定直線的位置即可得到結(jié)論；
（2）作出Ω₁與Ω₂對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，若Ω₁與Ω₂有且只有一個公共點，
則圓心O到直線x+ay+2=0的距離d=1，
即

2

1+a2

=1，即a²=3，解得a=±

3

．

（2）當(dāng)不等式x²+y²≤1表示的平面區(qū)域為Ω₂．
若a=0時，Ω₁與Ω₂公共部分的區(qū)域面積最小為0，
當(dāng)a＞0時，不等式組

x+y+2≥0 x+ay+2≤0

對應(yīng)的平面區(qū)域在圓的下方，此時Ω₁與Ω₂公共部分的區(qū)域最大為半圓，面積為

1

2

×π×12=

π

2

；

若a＜0，不等式組

x+y+2≥0 x+ay+2≤0

對應(yīng)的平面區(qū)域在圓的上方，此時Ω₁與Ω₂公共部分的區(qū)域最大為半圓，面積為

1

2

×π×12=

π

2

；

總上S（a）∈[0，

π

2

)，
故答案為：±

3

，[0，

π

2

)．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本數(shù)學(xué)思想．