(本小題滿分14分)
解: (1)定圓圓心為
,半徑為
. --------------------------------------------1分
設(shè)動圓圓心為
,半徑為
,由題意知
,
,
, ----------------------------------------------------------------2分
因為
,
所以點
的軌跡
是以
、
為焦點,長軸長為
的橢圓, -------------3分
故曲線
的方程為
. --------------------------------------------------------4分
(2)設(shè)
,則
, -----------------------------------------------------5分
令
,
,所以,
當(dāng)
,即
時,
在
上是減函數(shù),
; ----------------------------------------------6分
當(dāng)
,即
時,
在
上是增函數(shù),在
上是減函數(shù),則
; -----------------------7分
當(dāng)
,即
時,
在
上是增函數(shù),
. -----------------------------------------------------------8分
所以,
. --------------------------9分
(3)當(dāng)
時,
,于是
,
.
若正數(shù)
滿足條件,則
, -------------------------10分
即
,所以
. -----------------------------11分
令
,設(shè)
,則
,
,于是
所以,當(dāng)
,即
,
時,
,
----------------------------------------------13分
所以,
,即
.所以,
存在最小值
. ------------------------14分
另解:當(dāng)
時,
,于是
,
.
若正數(shù)
滿足條件,則
, -------------------------10分
即
,所以
. ---------------------------11分
令
,則
,
由
,得
.
當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.
故當(dāng)
時,
, ---------------------------------------------13分
所以,
,即
.所以,
存在最小值
. -----------------------14分