Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用正弦定理化邊為角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用兩角和與差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值即可．
（2）由向量數(shù)量積的定義可得accosB=2，結(jié)合已知及余弦定理可得a²+b²=12，再根據(jù)完全平方式易得a=c=．
解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
則2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此．（6分）
（II）解：由，可得accosB=2，
，
由b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²=12，
所以（a-c）²=0，即a=c，
所以．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、向量數(shù)量積的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了基本運(yùn)算能力．