Question

已知拋物線y²=4x．
（1）若圓心在拋物線y²=4x上的動(dòng)圓，大小隨位置而變化，但總是與直線x+1=0相切，求所有的圓都經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，若過(guò)F點(diǎn)的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，若

FM

=-4

FN

，求直線MN的斜率；
（3）若過(guò)F點(diǎn)且相互垂直的兩條直線l₁，l₂，拋物線與l₁交于點(diǎn)P₁，P₂，與l₂交于點(diǎn)Q₁，Q₂．證明：無(wú)論如何取直線l₁，l₂，都有

1

|P1P2|

+

1

|Q1Q2|

為一常數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）本題考查拋物線的定義，由于直線x+1=0是已知拋物線的準(zhǔn)線，而圓心在拋物線上的圓既然與準(zhǔn)線相切，則它必定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以所有的圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，即定點(diǎn)（1，0）；
（2）設(shè)直線MN方程為y=k（x-1），把它與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去x，就可得到關(guān)于y的方程，可得y₁+y₂，y₁y₂，利用條件

FM

=-4

FN

，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)F點(diǎn)的直線l₁為x=ky+1，代入拋物線方程，分別求出|P₁P₂|，|Q₁Q₂|，即可證明．

解答： （1）解：由題意，直線x+1=0是已知拋物線的準(zhǔn)線，圓心在拋物線上的圓．
∵圓與準(zhǔn)線相切，
∴圓必定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，
∴所有的圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，即定點(diǎn)（1，0）；
（2）解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
設(shè)直線MN方程為y=k（x-1），把它與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去x，得y²-

4y

k

-4=0
∴y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4，
∵

FM

=-4

FN

，
∴y₁=-4y₂，
∴k=±

4

3

；
（3）證明：設(shè)Q₁（x₃，y₃），Q₂（x₄，y₄），過(guò)F點(diǎn)的直線l₁為x=ky+1，代入拋物線方程得y²-4ky-2=0，
∴y₃+y₄=4k，y₃y₄=-2，
∴|P₁P₂|=x₃+x₄+2=k（y₃+y₄）+4=4k²+4，
同理|Q₁Q₂|=

4

k2

+4，
∴

1

|P1P2|

+

1

|Q1Q2|

=

1

4

為一常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問(wèn)題，考查向量知識(shí)，考查小時(shí)分析解決問(wèn)題的能力，有難度．