Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）若m，n是正實(shí)數(shù)，且m+n=a，求

1

m

+

2

n

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,帶絕對(duì)值的函數(shù)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由|x-1|+|x+2|的幾何意義表示了數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1與到點(diǎn)-2的距離之和可知a=3；
（2）

1

m

+

2

n

=

m+n

3m

+

2m+2n

3n

=1+

n

3m

+

2m

3n

≥1+2

2 3 • 1 3

=1+

2

3

2

．利用基本不等式．

解答： 解：（1）由|x-1|+|x+2|的幾何意義表示了數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1與到點(diǎn)-2的距離之和，
如圖：
則x在[-2，1]上時(shí)，函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．
即a=3．
（2）由題意，m+n=3，
則

1

m

+

2

n

=

m+n

3m

+

2m+2n

3n

=

1

3

+

n

3m

+

2m

3n

+

2

3

=1+

n

3m

+

2m

3n

≥1+2

2 3 • 1 3

=1+

2

3

2

．
（當(dāng)且僅當(dāng)

n

3m

=

2m

3n

時(shí)，等號(hào)成立）．
即

1

m

+

2

n

的最小值為1+

2

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的最值與基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．