Question

在△ABC中，三邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，設(shè)函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x，且f（

A

2

）=2．
（1）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大�。�
（2）記g（λ）=|

AB

+λ

AC

|，若|

AB

|=|

AC

|=3，試求g（λ）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由兩角和的正弦公式，即可化簡(jiǎn)f（x），再由f（

A

2

）=2，即可得到A，再由正弦定理，即可化簡(jiǎn)acosB+bcosA=csinC，求出sinC，得到C，從而得到B；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，代入數(shù)據(jù)，得到g（λ）的表達(dá)式，配方即可得到最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sin2x+cos2x=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

），
且f（

A

2

）=2，即有sin（A+

π

6

）=1，A為三角形的內(nèi)角，
則A=

π

2

-

π

6

=

π

3

，
又acosB+bcosA=csinC，
由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，
即有sin（A+B）=sinC=sin²C，
即有sinC=1，C為三角形的內(nèi)角，即有C=

π

2

，
則B=π-A-C=

π

6

；
（2）|

AB

+λ

AC

|²=|

AB

|²+λ²|

AC

|²+2λ|

AB

||

AC

|，
而|

AB

|=|

AC

|=3，A=

π

3

，
則|

AB

+λ

AC

|=

(1+λ+λ2)| AB |

=3

(λ+ 1 2 )2+ 3 4

，
則當(dāng)λ=-

1

2

時(shí)，g（λ）取得最小值

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的求值和正弦定理及運(yùn)用，考查平面向量的數(shù)量積及性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．