Question

【題目】已知函數(shù)，對于任意的實數(shù)，恒成立.

（1）求的值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)和，可知，也為極小值，可得必要條件，求得；接著證明充分性，當時，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，從而知充分性成立，由此得到結(jié)果；

（2）設(shè)，整理得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而說明，得到，解不等式即可得到所證結(jié)論.

（1）由題意得：.

且恒成立，是的最小值，也是的極小值，

則其必要條件，則，解得：；

當時，，，

當時，；當時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，可知充分性成立；

綜上所述：.

（2）由（1）可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)，，

，

，令，則，

令，

則

，

令，則，

在上單調(diào)遞減，，，

在上單調(diào)遞增，

，，，，

，，

，又，，

，

即，解得：或（舍），

綜上所述：.