Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1，整理得，進(jìn)而得是公差為1的等差數(shù)列；求出S_n的表達(dá)式，再利用已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的方法即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結(jié)論得，再把其放縮到，代入所求即可證明結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1，得，
∴是公差為1的等差數(shù)列，
∴，S_n=（2n-1）（S₁+n-1）①
又∵{a_n}等差數(shù)列，∴a₁+a₃=2a₂，即a₁+（S₃-S₂）=2（S₂-S₁）．
由①得a₁+[5（a₁+2）-3（a₁+1）]=2[3（a₁+1）-a₁]，
解得a₁=1，代入①得S_n=2n²-n．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
上式對(duì)n=1也適用，∴a_n=4n-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=，
∴
=，故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式以及數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題．解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于把，放縮到．