Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于點(diǎn)Q（1，0）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由離心率公式和三角形的面積公式及a，b，c的關(guān)系式，即可得到方程，解出即可得到橢圓方程；
（2）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出直線AE的方程，令y=0，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論

解答： （1）解：由題意得：

c a = 1 2 bc= 3 a2=b2+c2

，解之得：

a=2 b= 3 c=1

，
則橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意知直線PB的斜率存在，
設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得，
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，
設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁），
∴x₁+x₂=

32k2

4k2+3

，x₁x₂=

64k2-12

4k2+3

，
又直線AE的方程為y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂），
令y=0，則x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

=

2x1x2-8(x1+x2)

x1+x2-8

=1，
故直線AE過(guò)x軸上一定點(diǎn)Q（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解．