Question

如圖，等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB．
（Ⅰ）若F為CD中點，證明：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=BD，求直線EB與平面BCD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取BD中點G，連結EG，GF，由已知條件推導出EG∥AB，GF∥BC，由此證明平面EFG∥平面ABC，從而得到EF∥平面ABC．
（Ⅱ）連結BF，則∠EBF為直線EB與平面BCD所成角，由此能求出直線EB與平面BCD所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取BD中點G，連結EG，GF，
∵等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，
BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，
∴AE

∥

.

CB，∴ABGE是平行四邊形，∴EG∥AB，
∵F為CD中點，∴GF∥BC，
∵EG，GF?平面，EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面ABC，
∵EF?平面平面EFG，∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直，
BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB，G是BD中點，
∴EF⊥GF，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDC，
連結BF，則∠EBF為直線EB與平面BCD所成角，
由題意知設BD=2AE=2，
則BF=

12+12

=

2

，BE=

12+22

=

5

，
∴cos∠EBF=

BF

BE

=

2

5

=

10

5

，
∴直線EB與平面BCD所成角的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．