Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且滿足a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），a₁=1
（1）求證：{

1

sn

}成等差數(shù)列
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=s_n-s_n-1，將a_n+2s_ns_n-1=0變形為s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．再兩邊除以2s_ns_n-1，并移向得出

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)，從而證出{

1

sn

}成等差數(shù)列．
（2）由（1）求出數(shù)列{

1

sn

}的通項(xiàng)公式，再求出S_n，最后利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵a_n=s_n-s_n-1，a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），
∴s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．兩邊除以2s_ns_n-1，并移向得出

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)，
∴

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)
∴{

1

sn

}是等差數(shù)列，公差d=2．
（2）由（1）{

1

sn

}是以

1

s1

=

1

a1

=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
∴

1

sn

=1+2(n-1)=2n-1，故sn=

1

2n-1

．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn-sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)(2n-3)

當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1不符合上式
所以an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的判斷，通項(xiàng)公式求解．考查an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的應(yīng)用．屬于中檔題．