Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求證：當(dāng)時，的圖象位于直線上方；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（為坐標(biāo)原點），求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，令，求得和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得，進(jìn)入得到，即可得到結(jié)論.

（Ⅱ）設(shè)，由，解得，得到，所以，進(jìn)而得到要證，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（Ⅰ）由題意，當(dāng)時，的圖象位于直線上方，

即證當(dāng)時，恒成立，

令，可得，則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，

所以當(dāng)時，的圖象始終在直線上方．

（Ⅱ）因為，則，

設(shè)，則，所以，

所以，所以，所以．

要證，

即證，即證，即證，

下面證明．令，∴，

所以當(dāng)，，，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，即，

所以，．