Question

【題目】已知函數，為的導函數．

（Ⅰ）當時，

（i）求曲線在點處的切線方程；

（ii）求函數的單調區(qū)間和極值；

（Ⅱ）當時，求證：對任意的，且，有．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

(Ⅰ) (i)首先求得導函數的解析式，然后結合導數的幾何意義求解切線方程即可；

(ii)首先求得的解析式，然后利用導函數與原函數的關系討論函數的單調性和函數的極值即可；

（Ⅱ）首先確定導函數的解析式，然后令，將原問題轉化為與有關的函數，然后構造新函數，利用新函數的性質即可證得題中的結論.

(Ⅰ) (i) 當k=6時，，.可得，，

所以曲線在點處的切線方程為，即.

(ii) 依題意，.

從而可得，

整理可得：，

令，解得.

當x變化時，的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，函數g(x)的單調遞減區(qū)間為(0，1)，單調遞增區(qū)間為(1，+∞)；

g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.

（Ⅱ）證明：由，得.

對任意的，且，令，則

. ①

令.

當x>1時，，

由此可得在單調遞增，所以當t>1時，，即.

因為，，，

所以

. ②

由(Ⅰ)(ii)可知，當時，，即，

故 ③

由①②③可得.

所以，當時，任意的，且，有

.