Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程；

（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實(shí)數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線(xiàn)，求得函數(shù)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)斜率為 ，據(jù)此可得切線(xiàn)方程為；

(Ⅱ)利用題意構(gòu)造函數(shù) ，結(jié)合(I)的結(jié)論和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系即可證得結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）

設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率為

點(diǎn)在上，

，解得

切線(xiàn)的斜率為，切線(xiàn)方程為

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構(gòu)造函數(shù)，

在上單調(diào)遞增，

又，所以在時(shí)恒成立，即成立

.