Question

10．已知f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$，x∈R．
（1）求證：對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f（x）=f（1-x）恒為定值．
（2）計(jì)算：f（-6）+f（-5）+f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$，x∈R．利用函數(shù)性質(zhì)能推導(dǎo)出對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f（x）+f（1-x）恒為定值1．
（2）由f（x）+f（1-x）=1，能示出f（-6）+f（-5）+f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）的值．

解答 證明：（1）∵f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$，x∈R．
∴對(duì)一切實(shí)數(shù)x，
f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+{2}^{\;}}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+{2}^{\;}}$
=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+{2}^{\;}}+\frac{4}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$+$\frac{2}{2+{4}^{x}}$=1，
∴對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f（x）+f（1-x）恒為定值1．
解：（2）∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f（-6）+f（-5）+f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）
=[f（-6）+f（7）]+[f（-5）+f（6）]+[f（-4）+f（5）]+[f（-3）+f（4）]
+[f（-2）+f（3）]+[f（-1）+f（2）]+[f（0）+f（1）]
=1+1+1+1+1+1+1=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．