Question

Monte-Carlo方法在解決數(shù)學問題中有廣泛的應用．下面是利用Monte-Carlo方法來計算定積分．考慮定積分

∫

1 0

x₄dx，這時

∫

1 0

x₄dx等于由曲線y=x⁴，x軸，x=1所圍成的區(qū)域M的面積，為求它的值，我們在M外作一個邊長為1正方形OABC．設想在正方形OABC內(nèi)隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為

m

n

，此即為定積分

∫

1 0

x₄dx的估計值I．向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，有ξ個點落入?yún)^(qū)域M
（1）若ξ=2099，計算I的值，并以實際值比較誤差是否在5%以內(nèi)
（2）求ξ的數(shù)學期望
（3）用以上方法求定積分，求I與實際值之差在區(qū)間（-0.01，0.01）的概率
附表：p（n）=

n

i=0

C

k 10000

×0.2^k×0.8^10000-k

n	1899	1900	1901	2099	2100	2101
P（n）	0.0058	0.0062	0.0067	0.9933	0.9938	0.9942

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,獨立性檢驗

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）若ξ=2099，則I=

2099

10000

=0.2099，由此利用定積分能求出估計值與實際值的誤差在5%以內(nèi)．
（2）由題意，每一次試驗能夠落入?yún)^(qū)域M中的概率為0.2，投擲10000個點有ξ個點落入?yún)^(qū)域M內(nèi)，則ξ～B（10000，0.2），由此能求出ξ的數(shù)學期望．
（3）I與實際值之差在區(qū)間（-0.01，0.01）的概率為P（|

ξ

10000

-0.2|＜0.01），由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）若ξ=2099，則I=

2099

10000

=0.2099，
而

∫

1 0

x4dx=

1

5

x5

|

1 0

=0.2，…（2分）
∴估計值與實際值的誤差為：

|0.2099-0.2|

0.2

×100%=4.95%，
即估計值與實際值的誤差在5%以內(nèi)．…（4分）
（2）由題意，每一次試驗能夠落入?yún)^(qū)域M中的概率為0.2，
投擲10000個點有ξ個點落入?yún)^(qū)域M內(nèi)，則ξ～B（10000，0.2），…（7分）
∴Eξ=10000×0.2=2000．…（9分）
（3）I與實際值之差在區(qū)間（-0.01，0.01）的概率為
P（|

ξ

10000

-0.2|＜0.01）
=P（1900＜ξ＜2100）
=

2100

k=1901

C

k 10000

•0．2k•0．810000-k
=P（2099）-P（1900）=0.9871．…（14分）

點評：本題考查I的值的計算，考查實際值比較誤差是否在5%以內(nèi)的判斷，考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法，考查概率的求法，是中檔題．