Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，，記h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若a=0，且h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）若a≠0，設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，請判斷C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線能否平行，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最大值即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）求導(dǎo)數(shù)，研究兩條切線的斜率關(guān)系，從而確定是否平行．
解答：解：（1）不等式，函數(shù)，x∈（0，+∞），由，得x=e，
所以p（x）先增后減，
最大值為，
（2），
則．
當(dāng)a=0時，時，h′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，ax²+2x-1＞0，總有x＞0；
當(dāng)a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而ax²+2x-1＞0，總有x＞0；
則△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根．此時，-1＜a＜0，
綜上：a∈（-1，+∞）
（3）不能平行．
設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標(biāo)為
假設(shè)C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行得：，點P、Q的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式
兩式相減得：
設(shè)，則．令．
得用導(dǎo)數(shù)得r（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．故r（t）＞r（1）=0．
所以不成立，即兩切線不可能平行．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值，要求熟練掌握它們對應(yīng)的關(guān)系．