【題目】設數(shù)列{an}和{bn}的項數(shù)均為m,則將數(shù)列{an}和{bn}的距離定義為 |ai﹣bi|.
(1)給出數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離;
(2)設A為滿足遞推關系an+1= 的所有數(shù)列{an}的集合,{bn}和{cn}為A中的兩個元素,且項數(shù)均為m,若b1=2,c1=3,{bn}和{cn}的距離小于2016,求m的最大值;
(3)記S是所有7項數(shù)列{an|1≤n≤7,an=0或1}的集合,TS,且T中任何兩個元素的距離大于或等于3,證明:T中的元素個數(shù)小于或等于16.
【答案】
(1)解:由題意可知,數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離為1+0+5+1=7
(2)解:設a1=p,其中p≠0,且p≠±1,
由an+1= ,得a2= ,a3=﹣ ,a4= ,a5=p,
∴a1=a5,
因此A中數(shù)列的項周期性重復,且間隔4項重復一次,
所數(shù)列{bn}中,b4k﹣3=2,b4k﹣2=﹣3,b4k﹣1=﹣ ,b4k= ,k∈N*,
所以{cn}中,b4k﹣3=3,b4k﹣2=﹣2,b4k﹣1=﹣ ,b4k= ,k∈N*,
|bi﹣ci|≥ |bi﹣ci|,得項數(shù)m越大,數(shù)列{bn}和{cn}的距離越大,
由 =bi﹣ci|= ,
得 |bi﹣ci|= |bi﹣ci|= ×864=2016,
所以m<3456時, |bi﹣ci|<2016,
故m的最大值為3455
(3)解:證明:假設T中的元素個數(shù)大于等于17個,
因為數(shù)列{an}中,ai=0或1,
所以僅由數(shù)列前三項組成的數(shù)組(a1,a2,a3)有且僅有8個,(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),
(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),
那么這17個元素(即數(shù)列)之中必有三個具有相同的a1,a2,a3,
設這個數(shù)列分別為{cn}:c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,{dn}:d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,{fn}:f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,
其中c1=d1=f1,c2=d2=f2,c3=d3=f3,
因為這三個數(shù)列中每兩個的距離大于等于3,
所以,{bn}和{cn}中,ci=di,(i=4,5,6,7)中至少有三個成立,
不妨設c4≠d4,c5≠d5,c6≠d6,
由題意,c4和d4中一個等于0,而另一個等于1,
又因為f4=0或1,
所以f4=c4和f4=d4中必有一個成立,
同理,得f5=c5和f5=d5中必有一個成立,f6=c6和f6=d6中必有一個成立,
所以“fi=ci(i=3,4,5)中至少有兩個成立”或”fi=di(i=4,5,6)中至少有兩個成立“中必有一個成立,
所以 |fi﹣ci|≤2和 |fi﹣di|≤2中必有一個成立.
與題意矛盾,
∴T中的元素個數(shù)小于或等于16
【解析】(1)由數(shù)列距離的定義即可求得數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離;(2)由數(shù)列的遞推公式,即可求得a,a3 , a4 , a5 , 求得A中數(shù)列的項周期性重復,且間隔4項重復一次,求得數(shù)列{bn}和{cn}規(guī)律,可知隨著項數(shù)m越大,數(shù)列{bn}和{cn}的距離越大,由 =bi﹣ci|= ,根據(jù)周期的定義,得 |bi﹣ci|= |bi﹣ci|= ×864=2016,求得m的最大值;(3)利用反證法,假設T中的元素個數(shù)大于等于17個,設出{cn},{dn},{fn},最總求得 |fi﹣ci|≤2和 |fi﹣di|≤2中必有一個成立,與數(shù)列的距離大于或等于3矛盾,故可證明T中的元素個數(shù)小于或等于16.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 , ,則下列結論中正確的是( )
A.函數(shù)y=f(x)?g(x)的周期為2
B.函數(shù)y=f(x)?g(x)的最大值為1
C.將f(x)的圖象向左平移 個單位后得到g(x)的圖象
D.將f(x)的圖象向右平移 個單位后得到g(x)的圖象
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知三棱臺ABC﹣A1B1C1中,平面BB1C1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=CC1=B1C1=2,BC=4,AC=6
(1)求證:BC1⊥平面AA1C1C
(2)點D是B1C1的中點,求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將圓的六個等分點分成相同的兩組,它們每組三個點構成的兩個正三角形除去內(nèi)部的六條線段后可以形成一個正六角星.如圖所示的正六角星的中心為點O,其中x,y分別為點O到兩個頂點的向量.若將點O到正六角星12個頂點的向量都寫成ax+by的形式,則a+b的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面ABCD,且∠ABC= .
(1)求證:BC∥平面AB1C1;
(2)求證:平面A1ABB1⊥平面AB1C1 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若直角坐標平面內(nèi)的兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關于原點對稱,則稱點對(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一對“友好點對”(點對(P,Q)與(Q,P)看作同一對“友好點對”).已知函數(shù)f(x)= ,則此函數(shù)的“友好點對”有( )
A.3對
B.2對
C.1對
D.0對
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【題目】定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)和g(x),如果對任意x∈D,都有|f(x)﹣g(x)|≤1成立,則稱f(x)在區(qū)間D上可被g(x)替代,D稱為“替代區(qū)間”.給出以下問題:
①f(x)=x2+1在區(qū)間(﹣∞,+∞)上可被g(x)=x2+ 替代;
②如果f(x)=lnx在區(qū)間[1,e]可被g(x)=x﹣b替代,則﹣2≤b≤2;
③設f(x)=lg(ax2+x)(x∈D1),g(x)=sinx(x∈D1),則存在實數(shù)a(a≠0)及區(qū)間D1 , D2 , 使得f(x)在區(qū)間D1∩D2上被g(x)替代.
其中真命題是( )
A.①②③
B.②③
C.①
D.①②
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線
(1)若曲線C1是一個圓,且點P(1,1)在圓C1外,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當m=2時,曲線關于直線x+1=0對稱的曲線為,設P為平面上的點,滿足:存在過P點的無窮多對互相垂直的直線,它們分別與曲線C1和曲線相交,且直線被曲線C1截得的弦長與直線l2被曲線C2截得的弦長總相等.求所有滿足條件的點P的坐標;
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