【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.

(1)證明:平面PAB⊥平面PAD

(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題設(shè)條件可以得出ABAP,CDPD.而AB//CD,就可證明出AB⊥平面PAD.

進(jìn)而證明出平面PAB⊥平面PAD.(2)先找出AD中點(diǎn),找出相互垂直的線,建立以為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)?/span>軸正方向, 為單位長(zhǎng)的空間直角坐標(biāo)系,列出所需要的點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)是平面的法向量, 是平面的法向量,根據(jù)垂直關(guān)系,求出,利用數(shù)量積公式可求出二面角的平面角.

試題解析:(1)由已知,得ABAPCDPD.

由于ABCD,故ABPD,從而AB⊥平面PAD.

AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)在平面內(nèi)做,垂足為,

由(1)可知, 平面,故,可得平面.

為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)?/span>軸正方向, 為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由(1)及已知可得, , .

所以 , , .

設(shè)是平面的法向量,則

,即

可取.

設(shè)是平面的法向量,則

,即,

可取.

所以二面角的余弦值為.

點(diǎn)睛:高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:①求異面直線所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角;②求直線與平面所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角;③求二面角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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