Question

15．已知直線l：x=t與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1相交于A，B兩點，M是橢圓C上一點
（Ⅰ）當t=1時，求△MAB面積的最大值；
（Ⅱ）設(shè)直線MA和MB與x軸分別相交于點E，F(xiàn)，O為原點．證明：|OE|•|OF|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將x=1代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，求得$|AB|\;=\sqrt{6}$，當M為橢圓C的頂點（-2，0）時，M到直線x=1的距離取得最大值3，即可求得△MAB面積的最大值；
（Ⅱ）由題意可知：設(shè)M（x₀，y₀），則有${x_0}^2+2{y_0}^2=4$，則直線MA的方程為$y-n=\frac{{{y_0}-n}}{{{x_0}-t}}（x-t）$，令y=0，得$x=\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}$，從而$|{OE}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|$，同理即可求得$|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$，則$|{OE}|•|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|•|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$=$|{\frac{{{t^2}y_0^2-{n^2}x_0^2}}{{y_0^2-{n^2}}}}|$=$|{\frac{{4{y_0}^2-4{n^2}}}{{{y_0}^2-{n^2}}}}|$=4．

解答 解：（Ⅰ）當t=1時，將x=1代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
解得：$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$|AB|\;=\sqrt{6}$．[（2分）]
當M為橢圓C的頂點（-2，0）時，M到直線x=1的距離取得最大值3，[（4分）]
∴△MAB面積的最大值是$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$．[（5分）]
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點坐標分別為A（t，n），B（t，-n），從而t²+2n²=4．[（6分）]
設(shè)M（x₀，y₀），則有${x_0}^2+2{y_0}^2=4$，x₀≠t，y₀≠±n．[（7分）]
直線MA的方程為$y-n=\frac{{{y_0}-n}}{{{x_0}-t}}（x-t）$，[（8分）]
令y=0，得$x=\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}$，從而$|{OE}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|$．[（9分）]
直線MB的方程為$y+n=\frac{{{y_0}+n}}{{{x_0}-t}}（x-t）$，[（10分）]
令y=0，得$x=\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}$，從而$|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$．[（11分）]
所以$|{OE}|•|{OF}|=|{\frac{{t{y_0}-n{x_0}}}{{{y_0}-n}}}|•|{\frac{{t{y_0}+n{x_0}}}{{{y_0}+n}}}|$=$|{\frac{{{t^2}y_0^2-{n^2}x_0^2}}{{y_0^2-{n^2}}}}|$，
=$|{\frac{{（{4-2{n^2}}）y_0^2-{n^2}（{4-2y_0^2}）}}{{y_0^2-{n^2}}}}|$，[（13分）]
=$|{\frac{{4{y_0}^2-4{n^2}}}{{{y_0}^2-{n^2}}}}|$=4．
∴|OE|•|OF|為定值．[（14分）]

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，直線的點斜式方程，考查計算能力，屬于中檔題．