Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：AE⊥PC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明出EF∥AD，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出EF∥平面PAD   
（Ⅱ）先根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PAB，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出AE⊥BC，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AE⊥平面PBC，則AE⊥PC得證．

解答： （Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，
∵BC∥AD，
∴EF∥AD，
∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ） 證明：∵AP=AB，E是PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC且PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生空間觀察能力和推理能力．