Question

拋物線C：y²=4x及圓M：（x-3）²+y²=1，
（1）過圓上一點(diǎn)P（3，1）的直線l₁交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若線段AB被點(diǎn)P平分，求直線l₁的方程；
（2）直線l₂交拋物線C于E、F兩點(diǎn)，若線段EF的中點(diǎn)在圓M上，求

OE

•

OF

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）分別設(shè)出A，B的坐標(biāo)，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后利用弦中點(diǎn)求得AB連線的斜率，然后由點(diǎn)斜式方程得答案；
（2）設(shè)出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，把

OE

•

OF

用E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)的乘積表示，由題意得到兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積的范圍，則

OE

•

OF

的取值范圍可求．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l₁的斜率為k，
則 y12=4x1，①
y22=4x2，②
①-②得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∵線段AB被點(diǎn)P（3，1）平分，
∴k=

4

y1+y2

=2，
∴直線l₁的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0；
（2）設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
∵E、F在拋物線C：y²=4x上，
∴

OE

•

OF

=x3x4+y3y4=

y32

4

•

y42

4

+y3y4
=

1

16

(y3y4)2+y3y4．
由題意可知，當(dāng)EF的中點(diǎn)分別是圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，y₃y₄有最小值-16和最大值-8，
即y₃y₄∈[-16，-8]，
∴

1

16

(y3y4)2+y3y4∈[-4，0]．
∴

OE

•

OF

的取值范圍是[-4，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力，是中檔題．