Question

（類型A）已知數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，a₁=-

2

3

，滿足Sn+

1

Sn

+2=an（n≥2），計算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明
（類型B）已知數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，a₁=-

2

3

，滿足S_n=-

1

Sn-1+2

（n≥2），計算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（類型B）解：由S1= a1=-

2

3

及Sn=-

1

Sn-1+2

，把n=1，2，3，4分別代入可求，結(jié)合所求值可猜想：Sn=- 

n+1

n+2

證明：（1）當(dāng)n=1時，
（2）考慮利用數(shù)學(xué)歸納法證明

解答：（類型B）解：∵S1= a1=-

2

3

∴S2=-

1

S1+2

= -

3

4

，S3=-

1

S2+2

=-

4

5

，S4=-

1

S3+2

=-

5

6

猜想：Sn=- 

n+1

n+2

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即Sk=-

k+1

k+2

當(dāng)n=k+1時，Sk+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

=-

(k+1)+1

(k+1)+2

對n=k+1時成立
綜上可得對任意n∈N^*都成立，猜想正確

點評：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項目，及利用數(shù)學(xué)歸納法對猜想進行證明，而數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用種要注意由歸納假設(shè)n=k成立時到n=k+1得證明是歸納法證明的關(guān)鍵．