Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）
（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a=

1

x

在（1，+∞）上有解，
又∵當x∈（1，+∞）時，

1

x

＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范圍是（0，1）…（6分）
（2）①當a≥

1

e

時，因為f′（x）＞0在（e，e²）上恒成立，這時f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
所以當x=e時，f（x）_min=f（e）=1+

1-e

ae

 …（8分）
②當0＜a≤

1

e2

時，因為f′（x）＜0在（e，e²）上恒成立，這時f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
所以，當x=e²時，f（x）_min=f（e²）=2+

1-e2

ae2

，…（10分）
③當

1

e2

＜a＜

1

e

時，令f′（x）=0得，x=

1

a

∈（e，e²），
又因為對于x∈（e，

1

a

）有f′（x）＜0，
對于x∈（

1

a

，e²）有f′（x）＞0，
所以當x=

1

a

時，f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

…（14分）
綜上，f（x）在[e，e²]上的最小值為
f（x）_min=

1+ 1-e ae ，當a≥ 1 e 時 ln 1 a +1- 1 a ，當 1 e2 ＜a＜ 1 e 時 2+ 1-e2 ae2 ，當0＜a＜ 1 e2 時

…（16分）