Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a _n+1=a_n+2n．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若a_n+3n-2=

2

bn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：計算題

分析：（1）由a _n+1=a_n+2n，得a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2），然后利用累加法求數(shù)列的通項公式；
（2）把an=n2-n+2代入a_n+3n-2=

2

bn

，整理后得bn=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

，再利用裂項相消法求{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）由a _n+1=a_n+2n，得a _n+1-a_n=2n，
則a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2[（n-1）+（n-2）+…+1]+2
=2×

[(n-1)+1](n-1)

2

+2=n²-n+2（n≥2）．
驗證n=1時上式成立，
∴an=n2-n+2；
（2）把an=n2-n+2代入a_n+3n-2=

2

bn

，
得n2-n+2+3n-2=

2

bn

，即bn=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

．
∴{b_n}的前n項和
S_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，訓練了累加法求數(shù)列的通項公式，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．