Question

15．已知△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x-2y-5=0．求
（Ⅰ）AC所在的直線方程；
（Ⅱ）點B的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC所在的直線方程為2x+y+t=0，代入A（5，1），即可AC所在的直線方程；
（Ⅱ）設(shè)B（x₀，y₀），則AB的中點為$（\frac{{{x_0}+5}}{2}，\frac{{{y_0}+1}}{2}）$．聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x_0}-2{y_0}-5=0\\ 2×\frac{{{x_0}+5}}{2}-\frac{{{y_0}+1}}{2}-5=0.\end{array}\right.$，即可求出點B的坐標．

解答 解：（Ⅰ）因為AC⊥BH，所以設(shè)AC所在的直線方程為2x+y+t=0．
把A（5，1）代入直線方程為2x+y+t=0，解得t=-11．
所以AC所在的直線方程為2x+y-11=0．          …（5分）
（Ⅱ）設(shè)B（x₀，y₀），則AB的中點為$（\frac{{{x_0}+5}}{2}，\frac{{{y_0}+1}}{2}）$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x_0}-2{y_0}-5=0\\ 2×\frac{{{x_0}+5}}{2}-\frac{{{y_0}+1}}{2}-5=0.\end{array}\right.$化簡得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}-2{y_0}-5=0\\ 2{x_0}-{y_0}-1=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=-1\\{y_0}=-3.\end{array}\right.$即B（-1，-3）．                         …（9分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．