Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時，f(x)=

( 1 e )x+2，x≤-1 f(x-1)，-1＜x≤0

，若f （x）≥x+a“對于任意x∈R恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．(-∞， 1 e -2)

B．（-∞，-2]

C．(-∞， 1 e -1]

D．（-∞，-1]

Answer 1

①當(dāng)x≤-1時，f （x）≥x+a即(

1

e

)x+2≥x+a，也即(

1

e

)x+2-x≥a，
而(

1

e

)x+2-x遞減，所以(

1

e

)x+2-x的最小值為

1

e

+1，
此時，a≤

1

e

+1；
②當(dāng)-1＜x≤0時，f （x）=f（x-1）=(

1

e

)x+1≥x+a，即為(

1

e

)x+1-x≥a，
而(

1

e

)x+1-x遞減，所以(

1

e

)x+1-x的最小值為

1

e

，
此時，a≤

1

e

；
③當(dāng)x≥1時，-x≤-1，
因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=(

1

e

)-x+2≥x+a，即(

1

e

)-x+2-x≥a，
令g（x）=(

1

e

)-x+2-x，g′（x）=e^x-2-1，
當(dāng)1≤x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)x＞2時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
所以x=2時g（x）取得最小值，此時，a≤g（2）=-1；
④當(dāng)0≤x＜1時，-2＜-x-1≤-1，f（x）=f（-x）=f（-x-1）=(

1

e

)-x+1≥x+a，即(

1

e

)-x+1-x≥a，
令h（x）=(

1

e

)-x+1-x，h′（x）=e^x-1-1＜0，h（x）遞減，
所以h（x）＞h（1）=0，此時a≤0；
綜上，要使f （x）≥x+a“對于任意x∈R恒成立，a的取值范圍為a≤-1，
故選D．