Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線僅在兩個(gè)不同的點(diǎn)，處的切線都經(jīng)過點(diǎn)，求證：，或；

（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義推證；（2）先將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解：

試題解析：

（1）證明：∵，∴，

∴，

則曲線在兩點(diǎn)處的切線的方程分別為：

，

.

將代入兩條切線方程，得

，

.

由題可得方程即有且僅有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)根.

設(shè)，

.

①當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞增，顯然不成立.

②當(dāng)時(shí)，，解得或.

∴的極值分別為，.

要使得關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

則或.

（2）解：，

設(shè)，則，

記，則，

當(dāng)時(shí)，，于是在上是減函數(shù)，

從而當(dāng)時(shí)，，故在上是減函數(shù)，

于是，從而，所以當(dāng)時(shí)，.

所以，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

因此，的取值范圍是.