Question

已知cos（x+y）=

1

3

，cos（x-y）=

2

3

，且0＜x＜

π

2

，

π

3

＜y＜

π

2

．
（1）求cos2x；
（2）求tanx•tany．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系式先求得：sin（x+y），sin（x-y）的值，從而化簡(jiǎn)所求cos2x=cos[（x+y）+（x-y）]=cos（x+y）cos（x-y）-sin（x+y）sin（x-y），即可代入求值．
（2）由cos（x+y）=

1

3

，cos（x-y）=

2

3

，可得：

cosxcosy-sinxsiny= 1 3 cosxcosy+sinxsiny= 2 3

  即可解得所求．

解答： 解：（1）由0＜x＜

π

2

，

π

3

＜y＜

π

2

得

π

3

＜x+y＜π，-

π

2

＜x-y＜

π

6

故sin(x+y)=

2 2

3

．（3分）
而：若0＜x-y＜

π

6

，則cos(x-y)∈(

3

2

，1)，此時(shí)cos(x-y)=

2

3

不可能．故有：
-

π

2

＜x-y≤0，此時(shí)sin（x-y）=-

5

3

 （4分）
故cos2x=cos[（x+y）+（x-y）]=cos（x+y）cos（x-y）-sin（x+y）sin（x-y）=

2+2 10

9

． （5分）
（2）cos（x+y）=

1

3

，cos（x-y）=

2

3

，
可得：

cosxcosy-sinxsiny= 1 3 cosxcosy+sinxsiny= 2 3

  （7分）
解得：

cosxcosy= 1 2 sinxsiny= 1 6

，可得tanxtany=

1

3

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．