設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=
1
3
，an+1=an2+an（n∈N*），記Sn=
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
，則S10的整數(shù)部分為（　　）
分析：由數(shù)列{an}滿足a1=
1
3
，an+1=an2+an（n∈N*），知
1
an+1
=
1
an
×
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1
，所以
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1
，故S10=
1
a1
-
1
a2
+
1
a2
-
1
a3
+…+
1
a10
-
1
a11
=
1
a1
-
1
a11
，由此能夠求出S10的整數(shù)部分．
解答：解：∵數(shù)列{an}滿足a1=
1
3
，an+1=an2+an=an（an+1）（n∈N*），
∴
1
an+1
=
1
an(an+1)
=
1
an
×
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1
，
∴
1
an+1
=
1
an
-
1
an+1
，
∴S10=
1
a1
-
1
a2
+
1
a2
-
1
a3
+…+
1
a10
-
1
a11
=
1
a1
-
1
a11
，
∵a1=
1
3
，
a2=
1
9
+
1
3
 =
4
9
，
a3=
16
81
+
4
9
=
52
81
，
a4=
2704
6561
+
52
81
＞1，
又an+1＞an，
∴a11＞1，
∴0＜
1
a11
＜1，
∵
1
a1
=3，
∴S10的整數(shù)部分是2．
故選B．
點評：本題考查數(shù)列的遞推式，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且對任意的n∈N*，點Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，則數(shù)列{an}的通項公式為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時.
則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試研究：是否存在實數(shù)a，使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如數(shù)列cn：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時
，則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：{an}的通項公式及前20項和S20．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2+a4=6，且對任意n∈N*，函數(shù)f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，則數(shù)列{cn}的前n項和Sn為（　�。�
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，則A2013=（　�。�

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