Question

設(shè)命題p：t²-3t+2＜0；命題q：?x∈R，不等式3x²+2tx+t+

4

3

≤0成立．
（1）若“p∨q”為假命題，求t的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別求出p為真命題，q為真命題時(shí)，t的取值范圍，再根據(jù)若“p∨q”為假命題，則p假q假，從而可得t的取值范圍．
（2）根據(jù)題意得命題p、q有且僅有一個(gè)為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”即可得出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）命題p：t²-3t+2＜0為真，所以1＜t＜2．
又命題q：?x∈R，不等式3x²+2tx+t+

4

3

≤0成立，即方程3x²+2tx+t+

4

3

=0有解，所以△=4t²-12（t+

4

3

）＞0，
解得：t＞4或t＜-1．
若“p∨q”為假命題，則p假q假，
∴

t≤1或t≥2 -1≤t≤4

，
∴t的取值范圍-1≤t≤1或2≤t≤4；
（2）若“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，則p和q一真一假，
①p真q假時(shí)，得1＜t＜2；
②p假q真時(shí)，得t＞4或t＜-1，
綜上，t的取值范圍t＜-1或1＜t＜2或t＞4．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查命題真假的運(yùn)用，考查不等式的解法，解題的關(guān)鍵是求出p為真命題，q為假命題時(shí)t的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．