Question

分別以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），在y軸上是否存在定點(diǎn)M，過點(diǎn)M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）雙曲線的焦點(diǎn)為（±5，0），頂點(diǎn)為（±4，0），
所以所求橢圓方程為
（Ⅱ）假設(shè)存在M（0，a），過點(diǎn)M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，AB方程為y=kx+a，
代入方程，消去y，得
（9+25k²）x²+50akx+25a²﹣225=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+y₁y₂﹣3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）﹣3k（x₁+x₂）﹣6a+9
=（k²+1）x₁x₂+k（a﹣3）（ x₁+x₂）+a²﹣6a+9
=（k²+1）+k（a﹣3）+a²﹣6a+9
由以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，可得，
得17a²﹣27a﹣72=0，
∴（17a+24）（a﹣3）=0
∴a=3，或a=
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），過點(diǎn)M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點(diǎn)
∴a=
故M點(diǎn)的坐標(biāo)存在，M的坐標(biāo)為（0，）