Question

分別以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），在y軸上是否存在定點(diǎn)M，過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l 交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定雙曲線的焦點(diǎn)為（±5，0），頂點(diǎn)為（±4，0），從而可得橢圓的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，進(jìn)而可求橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在M（0，a），過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，AB方程為y=kx+a，代入方程，消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合，即可知M點(diǎn)的坐標(biāo)存在．
解答：解：（Ⅰ）雙曲線的焦點(diǎn)為（±5，0），頂點(diǎn)為（±4，0），
所以所求橢圓方程為…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在M（0，a），過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，
AB方程為y=kx+a，代入方程，
消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=，x₁x₂=…（9分）
=x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）-3k（x₁+x₂）-6a+9=（k²+1）x₁x₂+k（a-3）（ x₁+x₂）+a²-6a+9
=（k²+1）+k（a-3）+a²-6a+9
由以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，可得，得17a²-27a-72=0，
∴（17a+24）（a-3）=0…（12分）
∴a=3，或a=
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l 交橢圓于A、B兩點(diǎn)
∴a=
故M點(diǎn)的坐標(biāo)存在，M的坐標(biāo)為（0，）…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查恒成立問題的處理，解題要細(xì)心．