Question

如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=

2

，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點．
（1）求證：A₁E⊥平面AED；
（2）求二面角A-A₁D-E的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能證明A₁E⊥平面AED．
（2）分別求出平面A₁DE的一個法向量和平面AA₁D的一個法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁D-E的大�。�

解答： （1）證明：∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，
∴以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
∵AB=1，BC=

2

，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點，
∴D（0，0，2），A（

2

，0，2），E（

2

，1，1），A1(

2

，0，0)，C₁（0，1，0），
∴

DA

=（

2

，0，0），

AE

=（0，1，-1），

A1E

=（0，1，1），
∴

A1E

•

DA

=0，

A1E

•

AE

=0，
∴A₁E⊥DA，A₁E⊥AE，
∴A₁E⊥平面AED．
（2）解：設(shè)

n

=(x，y，z) 是平面A₁DE的一個法向量，
∵

A1E

=(0，1，1)，

A1D

=（-

2

，0，2），
∴

n • A1E =y+z=0 n • A1D =- 2 x+2z=0

，
取x=1，得

n

=（

2

，-1，1），
∵

DC1

⊥平面AA₁D，∴平面AA₁D的一個法向量為

DC1

=（0，1，0），
∴cos＜

n

，

DC1

＞=

-1

2

=-

1

2

，
結(jié)合圖形，可判別得二面角A-A₁D-E是銳角，它的大小為

π

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．