Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=2，BC=2

3

，∠BAC=

π

2

，此三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（　�。�

• A、

  32π

  3

• B、16π
• C、

  25π

  3

• D、

  31π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球心是上下底面斜邊中點(diǎn)的連線段PQ的中點(diǎn)．在直角Rt△POB中，利用勾股定理算出BO的長，即得外接球半徑R的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積．

解答： 解：直三棱ABC-A₁B₁C₁的各頂點(diǎn)都在同一球面上，（如圖），
∵△ABC中，∠BAC=

π

2

，
∴下底面△ABC的外心P為BC的中點(diǎn)，
同理，可得上底面△A₁B₁C₁的外心Q為B₁C₁的中點(diǎn)，
連接PQ，則PQ與側(cè)棱平行，所以PQ⊥平面ABC
再取PQ中點(diǎn)O，可得：點(diǎn)O到A、B、C、A₁、B₁、C₁的距離相等，
∴O點(diǎn)是三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球心
∵Rt△POB中，BP=

1

2

BC=

3

，PQ=

1

2

AA₁=1，
∴BO=

BP2+OP2

=2，即外接球半徑R=2，
因此，三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球的體積為：V=

4

3

πR³=

4

3

π×2³=

32

3

π．
故選：A．

點(diǎn)評：本題給出特殊的直三棱柱，求它的外接球的體積．著重考查了線面垂直的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球體積的公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．