Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax-2a+b，且f（1）=0．
（1）若f（x）在區(qū)間（2，3）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=0可得b=1，由f（x）在區(qū)間（2，3）上有零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得

f(2)＞0 f(3)＜0

，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=-x²+2ax-2a+1的圖象開(kāi)口方向朝上，對(duì)稱(chēng)軸為x=a，分類(lèi)討論[0，3]與對(duì)稱(chēng)軸位置關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合f（x）在[0，3]上的最大值是2，可求實(shí)數(shù)a的值

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x²+2ax-2a+b，
由f（1）=0，得-1+2a-2a+b=0，
解得：b=1．…（2分）
又f（x）在區(qū)間（2，3）上有零點(diǎn)，且f（x）的一個(gè)零點(diǎn)是1；
所以，

f(2)＞0 f(3)＜0

⇒

2a-3＞0 4a-8＜0

⇒

3

2

＜a＜2．…（6分）
（2）∵f（x）=-x²+2ax-2a+1的圖象開(kāi)口方向朝上，對(duì)稱(chēng)軸為x=a．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f_max=f（0）=-2a+1=2，則a=-

1

2

；
②當(dāng)0＜a＜3時(shí)，fmax=f(a)=a2-2a+1=2，則a=1+

2

，或a=1-

2

（舍去）；
③當(dāng)a≥3時(shí)，f_max=f（3）=4a-8=2，則a=

5

2

（舍去）；
綜上：a=-

1

2

或a=1+

2

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．