已知函數(shù)在
處取得極值
.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設(shè)是曲線
上除原點
外的任意一點,過
的中點且垂直于
軸的直線交曲線于點
,試問:是否存在這樣的點
,使得曲線在點
處的切線與
平行?若存在,求出點
的坐標;若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),若對于任意
,總存在
,使得
,求實數(shù)
的取值范圍.
(Ⅰ);(Ⅱ)存在,坐標為
;(Ⅲ)
的取值范圍是
.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由題意知,解出
;(Ⅱ)先假設(shè)存在這樣的點并設(shè)出點的坐標
,然后根據(jù)斜率相等列出等式,解得
即可;(Ⅲ)有3中解法,1的基本思路是:先利用導數(shù)求得
的最小值,然后說明
在
上的最小值不能大于
的最小值,根據(jù)這一條件求得
的范圍;2的基本思路是:先利用導數(shù)求得
的最小值-2,要使總存在
,使得
成立,說明
在
上有解,利用二次函數(shù)知識解答;3的基本思路和2有相似地方,只是在說明
在
上有解時,不是利用二次函數(shù)知識,而是利用換元和分離參數(shù)法解答.
試題解析:⑴∵,∴
.又
在
處取得極值
.
∴,即
,解得
,
,經(jīng)檢驗滿足題意,∴
.
⑵由⑴知.假設(shè)存在滿足條件的點
,且
,則
,
又.則由
,得
,∴
,∵
,
∴,得
.故存在滿足條件的點
此時點的坐標為
或
.
⑶解法:
,令
,得
或
.
當變化時,
、
的變化情況如下表:
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
∴在
處取得極小值
,在
處取得極大值
.
又時,
,∴
的最小值為
.
∵對于任意的,總存在
,使得
,
∴當時,
最小值不大于
.又
.
∴當 時,
的最小值為
,由
,得
;
當時,
最小值為
,由
,得
;
當時,
的最小值為
.由
,即
,解得
或
.又
,∴此時
不存在.
綜上,的取值范圍是
.
解法:同解法
得
的最小值為
.
∵對于任意的,總存在
,使得
,∴當
時,
有解,即
在
上有解.設(shè)
,則
得
, 或
,得
或
.
∴或
時,
在
上有解
故的取值范圍是
.
解法:同解法
得
的最小值為
.
∵對于任意的,總存在
,使得
,∴當
時,
有解,即
在
上有解.令
,則
,∴
.
∴當時,
;當
時,得
,不成立,∴
不存在;
當時,
.令
,∵
時,
,∴
在
上為減函數(shù),∴,∴
.
綜上,的取值范圍是
.
考點:利用導數(shù)求函數(shù)的極值、二次函數(shù)、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.
科目:高中數(shù)學 來源:2013屆度江西南昌二中高二下學期期末理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題12分)已知函數(shù)在
處取得極值.
(1) 求;
(2 )設(shè)函數(shù),如果
在開區(qū)間
上存在極小值,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年貴州省畢節(jié)市高三上學期第三次月考理科數(shù)學試卷 題型:解答題
已知函數(shù)=
在
處取得極值.
(1)求實數(shù)的值;
(2) 若關(guān)于的方程
在
上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖南省高三第一次月考理科數(shù)學試卷 題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知函數(shù)在
處取得極值。
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)求證:對于區(qū)間上任意兩個自變量的值
,都有
;
(Ⅲ)若過點可作曲線
的三條切線,求實數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣西柳鐵一中高三第三次月考文科數(shù)學試卷 題型:解答題
設(shè)函數(shù)為實數(shù)。
(Ⅰ)已知函數(shù)在
處取得極值,求
的值;
(Ⅱ)已知不等式對任意
都成立,求實數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年甘肅省高三第二階段考試數(shù)學理卷 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)在
處取得極值.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;[來源:學+科+網(wǎng)]
(Ⅱ)若關(guān)于的方程
在區(qū)間
上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)
的取值范圍.
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