Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x+1）=f（x）+f（1），若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有7個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A、（2

  2

  -2，2

  6

  -4）
• B、（

  3

  +2，

  3

  +

  6

  ）
• C、（2

  2

  +2，2

  6

  +4）
• D、（4，8）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題通過(guò)奇函數(shù)特征得到函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函數(shù)類(lèi)似周期性特征，從而可以畫(huà)出函數(shù)的草圖，再利用兩個(gè)臨界狀態(tài)的研究，得到k的取值范圍．

解答： 解：∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，
∴f（1）=1．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴f（x+1）=f（x）+1，
∴當(dāng)x∈[n，n+1]，n∈N^*時(shí)，
f（x+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=…=f（x-n）+n=（x-n）²+n，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
∵直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有7個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴由x＞0時(shí)f（x）的圖象可知：
直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切位置在x∈[1，2]時(shí)，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn)，
直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切位置在x∈[2，3]時(shí)，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有9個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象位置情況介于上述兩種情況之間．
∵當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，
由

y=kx y=(x-1)2+1

得：
x²-（k+2）x+2=0，
令△=0，得：k=2

2

-2．
由

y=kx y=(x-2)2+2

得：
x²-（k+4）x+6=0，
令△=0，得：k=2

6

-4．
∴k的取值范圍為（2

2

-2，2

6

-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用，本題有一定的綜合性，屬于中檔題．